2023新加坡数学奥林匹克 第二轮 中文翻译

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1.设为一个正方形，为边上的一点，和分别为到的垂足和到的垂足。假设和相交于。证明。

2.找出所有正整数，使得存在正整数，满足。

3.设为正整数。有个岛屿，它们之间有座桥梁相连，可以从任意一个岛屿前往其他岛屿。一个下午，一座岛屿发生火灾。每天早上，火势蔓延至所有相邻的岛屿。（如果两个岛屿由一座桥相连，则它们被认为是相邻的。）为了控制火势蔓延，每晚都会摧毁一座桥梁，直到火势在第二天无处可蔓延为止。设为火势停止蔓延前必须要摧毁的桥梁的最小可能数量。找出在火灾发生的所有可能桥梁和岛屿配置中，的最大可能值。

4.找出所有满足的整数。

5.使用2000种不同颜色对一个的方形网格上色，每个方格只能用一种颜色。如果两个方格共享一个顶点，则它们是相邻的。路径是一个方格序列，使得连续的两个方格是相邻的。在方格中标记个方格。对于每个未标记的方格，必须存在一标记的方格，使得和通过一条相同颜色的路径相连。对于任何两个相同颜色的标记方格，连接它们的任何路径都必须经过所有颜色的方格。找出的最大值。

1.在一个凸四边形中，对角线交于，和分别是线段和上的点。假设平行于，平行于。证明。

2.从中最多能选择多少个整数，使得这些整数能够排列成一个满足以下条件的圆圈：每对相邻整数的乘积为一个3位数？

3.定义多米诺骨牌为的矩形块。一个的方形网格被非重叠的多米诺骨牌填满，只剩下一个的间隙。然后，约翰反复将多米诺骨牌滑动到间隙中；每个多米诺骨牌最多只能移动一次。约翰最多可以移动多少次多米诺骨牌？ （例如：在下面的网格中，约翰可以移动2个多米诺骨牌：先是，然后是。）

4.有两个不同的两位素数和，可以以两种不同的方式将它们写在一起，形成两个四位数。例如，11和13可以形成1113和1311。如果形成的两个四位数都可以被和的平均值整除，找出所有可能的对。

5.找出所有正整数，使得存在正整数，满足。

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